Поняття визначника. Визначники другого і третього порядків

Розв’язування багатьох економічних задач зводиться до розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь. В основі де-яких методів розв’язування таких систем використовуються вирази, які називаються визначниками ( або детермінантами).

Розглянемо квадратну таблицю з n2 чисел, розміщених в n - горизонтальних і n -вертикальних рядах. За спеціальними правила-ми знаходиться число, яке називають визначником n -го порядку і позначають буквою " " грецького алфавіту:

a11 a12 ... a1n
= a21 a22 ... a2n .
..............................
an1 an2 ... ann

Числа aij( i = 1,2,...,n, j = 1,2,...,n ) - називають елементами

визначника. Перший індекс вказує номер рядка, а другий – номер стовпця, на перетині яких знаходиться елемент. Елементи, в яких обидва індекси однакові (тобто елементи a11,a22,...,ann ) утворюють

головну діагональвизначника.Інша діагональ називаєтьсянеголо-вною(допоміжною).Порядоквизначника визначає кількість йогорядків (або стовпців).

При обчисленні визначників n -го порядку одержуємо число, яке дорівнює алгебраїчній сумі всіх можливих добутків його еле-ментів, взятих по одному з кожного з n рядків і кожного із n стов-пців. При цьому половина доданків мають свої знаки, а інша - про-тилежні.

Покажемо, як обчислюються визначники другого і третього порядків. Для уточнення поняття “визначник” розглянемо два лінійних рівняння з двома невідомими з буквеними коефіцієнтами:

a11 x1 + a12 x2 = b1 , a21 x1 + a22 x2 = b2 .

Для розв’язування цих рівнянь ми повинні помножити їх на



відповідні коефіцієнти, при яких виключається одне з невідомих:

a11 x1 + a12 x2 = b1 , a22 , − a21
a21 x1 + a22 x2 = b2 . − a12 ,a11

В залежності від використаної пари множників ( по вертикалі) виключаємо або x1 або x2 і отримаємо такі рівняння:



( a11a22 − a12a21 )x1 = b1a22 − b2a12 ,

( a11a22 − a12a21 )x2 = b2a11 − b1a21 .

Звідси

x1 = b1a22 − b2a12 , x2 = b2a11 − b1a21 .
a11a22 − a12a21 a11a22 − a12a21
Ці вирази мають зміст тільки при умові, якщо знаменник не
дорівнює нулю.
Якщо, a11a22 − a12a21 = 0 , то система рівнянь або немає

розв’язку , або має нескінченну множину розв’язків. Коефіцієнти при невідомих утворюють вирази, які називаються визначниками.

Розглядаючи ці коефіцієнти, ми бачимо, що вони однакові при обох невідомих; складаються з двох добутків,кожний з яких вклю-чає два елементи.

Визначники другого порядку символічно позначаються так:

a11 a12 .

a21 a22

Визначником другого порядкуназивається число,яке дорів-

нює різниці добутків елементів головної і допоміжної діагоналей,

тобто a11 a12 = a11a22 − a12a21 .
a21 a22 • •
Це ілюструється схемою: a11 a12 = a11 a12 .
a21 a22 • a22 a21 • − 3
Приклад 1.Обчислити визначник другого порядку: .

Розв’язування. За попередньою формулою знаходимо:

1 − 3 = 1 ⋅ 6 − ( −3 )⋅7 = 6 + 21 = 27.

76



Визначником третього порядкуназивається число,яке зна-

ходиться за формулою

a11 a12 a13
a21 a22 a23 = a11a22a33 + a12a23a31 + a21a32a13 −
a31 a32 a33 − a13a22a31 − a12a21a33 − a23a32a11 .

Знаки, які стоять перед кожним із доданків, слід вибирати з такої схеми:

a11 a12 a13 a11 • • • a12 • • • a13
a21 a22 a23 = • a22 • + • • a23 + a21 • •
a31 a32 a33 • • a33 a31 • • • a32 •
• • a13 • a12 • a11 • •
• a22 • a21 • • • • a23 .
a31 • • • • a33 • a32 •

Це правило обчислення визначників 3-го порядку називається правилом трикутників.Тут доданки із знаком“+”є добуткамиелементів, які стоять на головній діагоналі визначника a11,a22,a33 і

добутки елементів, які стоять у вершинах трикутників з основами паралельними головній діагоналі a12,a23,a31 і a13,a21,a32 . Із знаком

“-” беруться доданки, які є добутками елементів неголовної діагона-лі a13,a22,a31 і добутки елементів вершин трикутників із основами,

паралельними цій діагоналі визначника: a12,a21,a33 і a11,a23,a32 .

Приклад 2.Обчислити визначник= − 2
− 3 .
− 4

Розв’язування. Користуючись правилом трикутників,

− 2
одержимо − 3 = 3 ⋅ 4 ⋅ ( −4 ) + ( −2 )( −3 )⋅ 5 + 1 ⋅ 2 ⋅ 0 − 0 ⋅ 4 ⋅ 5 −
− 4

− ( −2 )⋅ 1 ⋅ ( −4 ) − ( −3 )⋅ 2 ⋅ 3 =−48 + 30 + 0 − 0 − 8 + 18 =−8.

Правило трикутників легко запам’ятати, якщо дописати поряд з визначником перший, а потім другий його стовпці. Добутки еле-ментів, які знаходяться на діагоналях, відмічених на схемі суціль-



ними лініями, беруться із знаком “+”, a добутки елементів, які зна-ходяться на діагоналях, позначених на схемі пунктиром, із знаком “-”. Алгебраїчна сума цих шести добутків і дає значення визначника

a11 a12 a13 a11 a12

a21 a22 a23 a21 a22 .

a31 a32 a33 a31 a32

Такий спосіб обчислення визначника третього порядку нази-

вається правилом Саррюса.

Обчислимо попередній визначник 3-го порядку за правилом Саррюса.

− 2 − 2 = 3 ⋅ 4 ⋅ ( −4 ) + ( −2 )( −3 )⋅ 5 + 0 ⋅ 1 ⋅ 2 − 0 ⋅ 4 ⋅ 5 −
− 3
− 4

− 3 ⋅ ( −3 )⋅ 2 − ( −2 )⋅ 1 ⋅ ( −4 ) =−48 + 30 + 0 − 0 + 18 − 8 =−8.

При обчисленні визначників використовують їх властивості, які розглядаються в наступному параграфі.

Зауваження. Визначником першого порядку є число,яке дорі-внює цьому елементу, тобто а11 = а11. Тому не слід плутати позна-чення визначника з модулем самого числа.


9152932816984805.html
9153029229933464.html
    PR.RU™